Most Nusacha'Ot omit the recital of מזמור לתודה (Tehillim Ch. 100) on Shabbat and Yomim Tovim. The ספר שבלי הלקט presents the basis for each practice:
ספר שבלי הלקט ענין שבת סימן עו-מזמור לתודה יש מקומות שאומרים אותו בחול ולא בשבת ומצאתי טעם למנהגם בשם רבינו שלמה זצ"ל לפי שאין קרבן יחיד קרב בשבת ותודה קרבן יחיד היא והיא יכולה ליקרב בכל יום חוץ מן השבת. ובמקומנו מנהג לאומרו בשבת ולא בחול וכתב אחי ר' בנימין נר"ו הטעם לפי מנהגינו לפי שהשבת היא יום הודאה ובלשון הזה פתח אדם הראשון מזמור שיר ליום השבת טוב להודות לה' והלשון הזה משמע לשעבר ומשמע לעתיד לשעבר שאנו נותנין הודאה ושבחה למקום שהנחילנו יום הודאה כזה ולעתיד כדאיתא באגדה ר' פנחס ור' לוי ור' יוחנן בשם ר' מנחם דגליא לעתיד לבוא כל הקרבנות בטלין וקרבן תודה אינו בטל כל התפלות עתידות ליבטל ותפלת הודאה אינה בטילה וכן דוד הוא אומר עלי אלהים נדריך אשלם תודות לך תודה לא נאמר אלא תודות ההודאה וקרבן תודה ובשבת היא יום מנוחה דוגמא לעתיד לבא.
Translation: The chapter of Tehillim that begins Mizmor L’Toda is said in some places only on weekdays and not on Shabbat. The reason given for omitting the chapter on Shabbat is that it represents the thanksgiving sacrifice which was brought by individuals and individual sacrifices were not offered on Shabbat. But in our location (Italy) it is our practice to recite this chapter on Shabbat but not on weekdays. My brother, R. Binyamin, wrote that the basis for our custom is that Shabbat is a day of thanksgiving. He cites chapter 92 of Tehillim in which the line of “it is good to thank G-d” follows the opening line of Mizmor Shir L’Yom Ha’Shabbat. The wording in that line can be read as referring both to the past and to the future. Concerning the past, we are thanking G-d for providing a day of rest and thanksgiving. Concerning the future, we find a Midrash that relates that in the future, all sacrifices will be abolished but the thanksgiving sacrifice will remain. In much the same way, all prayers will be abolished but prayers of thanks and acknowledgement will remain. That is what Dovid Ha’Melech was referring to when he wrote (Tehillim 56, 13): Your vows are upon me, O G-d; I will render thanksgiving offerings to You. The word offerings was written in plural to signify that prayers of thanks and offerings of thanks will remain. That is why we want to say this chapter on Shabbat because Shabbat is a day that is a sample of how life will be experienced in the world to come.
Today Nusach Roma Siddurim provide that מזמור לתודה be said on Shabbat and Yom Tov:
The practice of reciting מזמור לתודה on Shabbat in some communities was known by Ashkenaz Rishonim but the first two words of the chapter were omitted:
ספר הרוקח הלכות ברכות הקדמה-מה שנהגו לדלג מזמור לתודה בשבת ובימים טובים לפי שאין קריבה בהן. לפי שהיא חובה ואין קבוע לה זמן. כמו כן אין אומר בחול המועד מפסח כדאמרינן אין מביאין תודה בפסח מפני חמץ שבה אבל בחול המועד דסוכות אומרין אותו. ושמעתי על ה"ר אליהו שלא היה מדלג כי אם שתי תיבות הללו מזמור לתודה והיה מתחיל הריעו לה' כל הארץ מפני שזה שבח של הקדוש ברוך הוא.
Translation: That we omit Mizmor L’Toda on Shabbat and Yomim Tovim is because the thanksgiving sacrifice was not offered on Shabbat. It is an obligatory sacrifice but does not have a set time at which it must be brought. As a result, it is also omitted on the days of Chol Ha’Moed Pesach because part of the sacrifice included bread but the chapter is said during Chol Ha’Moed Succot. Nevertheless, I heard that R. Eliyahu would recite the chapter while omitting the two first words “Mizmor L’Toda.” He would begin with the words Ha’Ri’Hu La’Shem Kol Ha’Aretz because the chapter includes words of high praise directed at G-d.
Complicating the issue is the practice by Nusach Roma and many Sephardic Nusacha'Ot to recite מזמור לתודה as part of Kabbalat Shabbat on Friday night:
The rationale for doing so is to recite seven chapters of Tehillim (six of which are consecutive) as part of Kabbalat Shabbat, chapters 95-100 and 29, representing the seven days of the week.
Query: if it is acceptable to recite מזמור לתודה as part of Kabbalat Shabbat, why is it inappropriate to recite it as part of Pseukei D'Zimra on Shabbat?