למנצח בנגינות - אמר הגאון: כי זה המזמור לדוד ונתנו לאחד מן המשוררים לנגן אותו תמיד, כמו לנצח. ואחרים אמרו: כי המנצח הוא הפקיד שהוא שר על המנגנים כמו ומנצחים עליהם, וזהו הנכון ונפתח למ"ד למנצח בעבור היותו ידוע. For the leader; with instrumental music (לַמְנַצֵּחַ בִּנְגִינוֹת - la-menatzeach bi-nginot): The [Rav Saadia] Gaon said: That this psalm is David's, and he gave it to one of the singers (ha-meshorerim) to play/sing (le-nagen oto) it perpetually (tamid), similar to [the interpretation of la-menatzeach as meaning] "forever" (la-netzach). And others said: That the Menatzeach is the appointed official (ha-pakid) who is the supervisor (sar) over the musicians (ha-menagnim). Similar [is the usage in (II Chronicles 34:13)] "and overseers (u-menatzchim) over them." And this [interpretation] is the correct one (ve-zehu ha-nakhon). And the Lamed [prefix] of la-menatzeach is opened [vocalized with a patach - לַ] because he [this specific leader] was well-known/definite.
וטעם בנגינות – שיש לו שתי נעימות. ויש אומרים: כלי שיר נקרא נגינות. ולפי דעתי: שהיו בישראל נגינות ושירות על נעימות רבות. And the meaning of bi-nginot: [Some say] that it has two (shtei) melodies (ne'imot). And some say: A musical instrument (k'li shir) is called neginot [plural used for a type of instrument]. And according to my opinion: There were among Israel melodies (neginot) and songs (shirot) set to many different tunes/modes (ne'imot).
וטעם בנגינות – שהיה תחלת שיר והנה נכתב עם זה המזמור הניגון וככה למעלות והמעלות ועל עלמות ועל אילת השחר ועל יונת אלם ועל מחלת. And the meaning of bi-nginot [as a directive] is that it was the beginning of the song. And behold, the specific melody/tune (ha-niggun) was written down together with this psalm. This is similar to [other superscription terms like] La-ma'alot ("For Ascents" - e.g., Psalm 120), Al Alamot ("According to Alamot" - Psalm 46), Al Ayelet Ha-Shachar ("According to The Hind of the Dawn" - Psalm 22), Al Yonat Elem [Rechokim] ("According to The Silent Dove [of Distant Lands]" - Psalm 56), and Al Machalat ("According to Machalat" - Psalm 53, Psalm 88). [These all likely indicate the tune, mode, or instrumentation.]